DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS Y TEOREMA DE LIMITE CENTRAL

 UNIDAD II: DISTRIBUCIONES MUESTRALES 

En estadística, la distribución muestral es lo que resulta de considerar todas las muestras posibles que pueden ser tomadas de una población.

             µ =(Miu) Media de una población                             x= Media de una muestra

            N =Número total de elementos                                  n = Número total de elementos 
                  de la población                                                                  de la muestra 

            𝝈𝟐= Varianza                                                            𝝈𝟐= Varianza                

         𝝈= Desviación estándar  o                                         𝝈= Desviac estándar   o
                 Desviación típica                                                        Desviación típica

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS Y TEOREMA DE LIMITE CENTRAL

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS

Cada muestra de tamaño n que podemos extraer de una población proporciona una media. Si consideramos cada una de estas medias como valores de una variable aleatoria podemos estudiar su distribución que llamaremos distribución muestral de medias.

Si tenemos una población normal N(m,s) y extraemos de ella muestras de tamaño n, la distribución muestral de medias sigue también una distribución normal

Si la población no sigue una distribución normal pero n>30, aplicando el llamado Teorema central del límite la distribución muestral de medias se aproxima también a la normal anterior.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL  

El teorema describe la distribución de la media de una muestra aleatoria proveniente de una población con varianza finita.

            PROPIEDADES

· El teorema del límite central garantiza una distribución aproximadamente normal cuando n es suficientemente grande.

·Existen diferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para     asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las      variables que se suman sean independientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.

·La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las     mismas que en sus extremos o colas, motivo por el cual se prefiere el nombre "teorema  del límite central" ("central" califica al límite, más que al teorema).

·Este teorema, perteneciente a la teoría de la probabilidad, encuentra aplicación en    muchos campos relacionados, tales como la inferencia estadística o la teoría de renovación.

EJERCICIOS ( 1 - 11 )

1.- Una máquina llena bolsas de cubre bocas con un contenido medio de 150 gr y una varianza de 120         grs2. Si se toma una muestra de 40 bolsas, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté            entre 145 y 152 grs?

2.- El peso de un producto en Kg sigue una distribución normal con media 30 y desviación típica 3 kg.        Un empresario decide aceptar un lote de 600 unidades que le envía el proveedor, si al elegir 5                 unidades de dicho producto al azar encuentra que su peso medio no es menor que 29 kg. ¿Calcular la      probabilidad de que se rechace el lote?

3.- Un banco llevó una estadística de los reclamos de los clientes en todas sus sucursales y vio que está        distribuido normalmente, con una media de 305 reclamos por año y una desviación estándar de 27         reclamos. Obtenga la probabilidad de que una muestra aleatoria de 33 sucursales se tengan 290              reclamos por año.

 

4.- Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un              paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han                  repartido 20 paquetes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de              hoy esté mayor a 40 minutos?

5.- Ciertos tubos fabricados por una compañía, tienen una duración media de 900 horas y una                      desviación estándar de 70 horas. Si se seleccionan aleatoriamente una muestra de 36 tubos, ¿Cuál es      la probabilidad de que dichos tubos tengan una duración media entre 𝑥1= 870 y 𝑥2= 925 horas?

6.- La edad de los miembros de una determinada asociación sigue una distribución normal N. Sabemos      que la distribución de las medias de las edades en muestra de tamaño 36 tienen como media 52 años      y como desviación típica 15 años, ¿Cuál es la probabilidad de que un miembro de la asociación,              elegido al azar sea mayor de 60 años?

 

7.- En la clase de estadística la media de un examen bimestral es de 80 puntos con una desviación              estándar de 12 puntos. Si la distribución de notas es normal y en la clase hay 35 alumnos. ¿Cuál es          la probabilidad de que haya obtenido una nota entre 75 y 85 puntos?

8.- Suponga que la media del precio de venta de un galón de gasolina en México es de $1.30, Además,         asuma que la distribución está posiblemente inclinada, con una desviación estándar de 0.28. ¿Cuál          es la probabilidad de seleccionar una muestra de 35 estaciones de gasolina y encontrar una media           muestral dentro de $1.22 y $1.38?

9.- Una máquina llena bolsas de chocolates con un contenido medio de 160 gr y una varianza de 110           grs2. Si se toma una muestra de 35 bolsas, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté           entre 140 y 172 grs?

 

10.- Ciertos artículos fabricados por una compañía, tienen una duración media de 800 horas y una                 desviación estándar de 65 horas. Si se seleccionan aleatoriamente una muestra de 40 tubos, ¿Cuál         es la probabilidad de que dichos tubos tengan una duración media entre 670 y 925 horas?

 

11.- Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en       forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. ¿Encuentre la                          probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775           horas?